Первый автосервисный журнал
Издается с 1997 года

Инновации на плечах гигантов. Очерки технической геометрии

Инновации  на плечах гигантов. Очерки  технической геометрии

С Новым технологическим годом

В прошлом году «АБС-авто» много писал о техническом прогрессе и новейших технологиях, в том числе внедренных в автомобильной индустрии.

Действительно, «Промышленность 4.0» шагнула в цеха автозаводов, роботы, связанные информационными сетями с художниками-дизайнерами, конструкторами и технологами, трудятся без участия людей, напечатанная на 3D-принтере деталь никого не удивляет, а электромобили стремительно набирают популярность, подстегивая развитие альтернативной энергетики.

Эта тема будет продолжена и в наступившем году – он наверняка подарит нам много интересного и удивительного.

Тест на виртуальность

Но взяться за перо автора сподвигли сомнения – правильно ли мы понимаем преемственность знания? Не считаем ли современные технологии явлением самодостаточным? Поясню. Прогресс выглядит так заманчиво – наука может всё, слава науке! Живи да радуйся. Но за эйфорией не следует забывать, что само по себе ничего не происходит. Робот пока что не может создать себе подобного, а более совершенного и подавно. А «программирование программирования» реализовано лишь на страницах Science fiction. И убери из фундамента величественного здания Технического Прогресса человека – физика, химика, математика, инженера, что будет с тем зданием?

Быстро же мы позабыли фразу Исаака Ньютона: «Я видел дальше других только потому, что стоял на плечах гигантов». Вообразили, что все возникает само собой и непременно впервые. А вот и нет: любая инновация – это дитя классической науки. И зародиться она могла сотни лет назад, а реализоваться – в наши дни. Или не реализоваться, но ожидать своего часа. Это справедливо даже для научной терминологии!

Хотите тест? Слово «виртуальный» – современное или нет? Что за вопрос, конечно, современное! До появления компьютеров и систем автоматизированного проектирования (САПР) о нем и знать не знали.

А вот и не угадали. Это понятие родилось из прочтения и анализа трудов Галилео Галилея! Передо мной книга «История естествознания» 1935 года издания. И на с. 60 сказано: «Особенно обязаны мы Галилею тем своеобразным соединением основоположений статики и динамики, которое мы ныне называем принципом виртуальных, т. е. возможных скоростей или перемещений. Под виртуальными скоростями понимают те скорости, которые получили бы точки системы с уравновешенными силами в тот момент, когда нарушается равновесие». И тут же рисунки, вошедшие в школьные учебники. Оказывается, виртуальная реальность была задолго до цифровых технологий!

Ну, это так, филологическое отступление. Чтобы нам, таким современным, не особо зазнаваться. А сейчас о другом. О том, что фундаментальные технические решения удивительно красивы и гармоничны. Статей на эту тему море, и здесь мы не претендуем на какие-либо открытия. Но несколько примеров и обобщений приведем. Потому что этими драгоценными камнями вымощена дорога к современным инновационным технологиям.

Золотое сечение

Это когда отрезок поделен на две части а и b, причем b > a. И для него справедливо соотношение b/a = (a+b)/b. Иными словами, вся длина относится к большей части отрезка, как большая часть – к меньшей части. По этой «золотой пропорции» строились здания – достаточно вспомнить Парфенон. И простейшее геометрическое соотношение являло чудо, произведение зодческого искусства.

Башня Шухова

Новаторская для XX века гиперболоидная конструкция в виде несущей стальной сетчатой оболочки. Поверхность – гиперболоидная, а составлена из прямых линий. Поэтому гиперболоид так и называется – линейчатый. Кто не знает, тот не верит, а кто знает – удивляется, каркас-то действительно из прямых балок. А Музей науки в Лондоне поместил макет башни Шухова на почетное место, как пример величайшего достижения инженерной мысли.

В Музее науки Лондона
можно совершить вир-
туальную экскурсию
по башне Шухова.
А мы можем полюбо-
ваться эти сооружени-
ем в реале
В Музее науки Лондона можно совершить вир- туальную экскурсию по башне Шухова. А мы можем полюбо- ваться эти сооружени- ем в реале

Группы Ассура

Пусть не такой наглядный пример, как два предыдущих, но для специалистов (разработчиков и пользователей САПР) весьма значимый. Скажем больше: эта идея, воплощенная в алгоритмах и программах, стала несомненной инновацией своего времени. Суть вот в чем. Любой механизм разбивается на элементарные звенья, из которых формируются структурные группы. Они называются группами Ассура по имени изобретателя метода Л. В. Ассура. Это такие кинематические цепи, присоединение которых к любому механизму не изменяет его числа степеней свободы.

Никаких сложных уравнений с тригонометрическими функциями! Для каждого шарнира (точки присоединения очередного звена) в кинематической цепочке программа вычисляет и строит графики перемещений, скоростей и ускорений. Например, хрестоматийная схема кривошипно-шатунного механизма двигателя внутреннего сгорания собирается из трех элементов: кривошип; диада (шатун); ползун (поршень). Но двигатель все же простой механизм. Особенно эффективно (и эффектно!) метод работает при анализе, синтезе и расчетах сложнейших многозвенных механизмов текстильных машин, в частности – ткацких станков.

Математические сплайны

Но давайте поближе к автомобилю. Его кузов – не только самый большой и дорогой компонент. Это раздолье для оптимизации. Есть где разгуляться и фантазии, и алгоритмам. Грамотно и со вкусом сделанный кузов – это средоточие гармоничных решений математики, информатики, физики, химии и биологии. И воображения, разумеется.

Здесь это формы и линии. Есть объекты классической геометрии, которые можно описать аналитическими уравнениями и довольно простыми формулами. Например, упомянутые выше линейчатые поверхности башни Шухова или золотое сечение.

А есть линии и обводы, подвластные только численным методам. С их помощью на компьютере проектируют крыло Mercedes, к примеру. Или Jaguar. Эти поверхности не опишешь уравнениями плоскости, конуса, шара, тора или параболического гиперболоида. Здесь применяются сплайны, кривые Безье, порции поверхности по Кунсу. И мы наслаждаемся их результатами не меньше, чем плодами классической геометрии.

Впрочем, не удивительно, что любуемся. Сплайны – это тоже природная гармония, особенно естественные кубические сплайны (рис. 1). Изначально сплайн – это инструмент чертежника, когда компьютеров не было и в помине. Это гибкая линейка, закрепленная в нескольких точках. Она изгибается ровно настолько, чтобы минимизировать потенциальную энергию упругости – отсюда ощущение спокойствия и легкости. Давайте произнесем медленно: минимизация энергии упругости… Линии не надо больше распрямляться, между соседними точками она свободна!

Рис.1. Сплайн – это гибкая линейка, инструмент чертежника. Сегодня он описан математически и входит в программное обеспечение САПР
Рис.1. Сплайн – это гибкая линейка, инструмент чертежника. Сегодня он описан математически и входит в программное обеспечение САПР

А можно изменить наклоны кривой в некоторых точках – «напрячь» нашу гибкую линейку. Тогда она изогнется, станет агрессивной. Это тоже сплайн, но не естественный, а более сложный – с принудительными касательными. На языке алгоритмов – с заданными произ­водными.

Разумеется, сплайны уже описаны математически и включены в «софт» для САПР. А набор (сетка) линий типа сплайна или кривых Безье в пространстве образуют порцию поверхности по Кунсу, а с ней и фрагмент кузова (рис. 2).

Рис. 2. Набор (сетка) линий типа сплайна или кривых Безье в пространстве образует порцию
поверхности по Кунсу, а с ней и фрагмент кузова
Рис. 2. Набор (сетка) линий типа сплайна или кривых Безье в пространстве образует порцию поверхности по Кунсу, а с ней и фрагмент кузова

Тензор

Детали кузова надо отштамповать – значит, подвергнуть пластической деформации. А деформация – что это за величина? Скалярная, векторная? Многие отвечают – векторная, у нее же есть направление. Не спешите говорить «векторная». Потому что она – тензорная. Это следующее, более сложное звено в цепочке «скаляр – вектор – тензор».

Давайте по шагам, именно от простого к сложному. Скаляр – это один параметр, просто численное значение. Например, масса 5 кг. Вектор – два параметра, величина и направление. Например, сила 5 Н (ньютонов).

А тензор – это что, три параметра? Нет, физика не обязана быть линейной. Не три, а девять! Деформация в точке описывается матрицей «три на три». То есть девятью параметрами – тремя нормалями и шестью касательными компонентами. Или лучше так: тремя нормальными и шестью касательными напряжениями, имеющими размерность «сила на элементарную площадь». И все они связаны между собой. Нельзя потянуть один «хвост» из девяти, чтобы не отреагировали остальные восемь.

Возьмите стальной стержень и растяните на разрывной машине. Сначала где-то в середине появится поясок, металл «потек». Поясок будет становиться тоньше, потом примет форму двух бутылочных горлышек, приставленных друг к другу. И наконец, лопнет. Здесь хорошо видно, что даже при одноосном растяжении возникают касательные напряжения и сдвиги. Так «течет» металл – сложно и капризно.

Что же говорить о листовой штамповке? Таких капризных и непредсказуемых точек в крыле – сколько? И технологам надо сделать штамп, чтобы крыло сформировалось правильно, без перекосов, концентраций напряжений и надрывов. Так мы движемся от сплайнов, кривых Безье и порций поверхности по Кунсу через тензор к готовому изделию.

Химия

Это – защита. Обезжиривание, катафорезное грунтование, фосфатирование, лакокрасочное покрытие, антикоррозионные и противошумные материалы. Экологичные составы, настоящие синергетические композиции, стойкие, долговечные и безопасные для здоровья. И опять же дарующие наслаждение – кто не любовался блеском лака на том крыле?

Надо ли говорить о биологии – начинающейся с безопасности и плавно переходящей к эргономике человеческого тела? А ведь это тоже он, кузов. Произведение искусства и детище инженерного гения. Предмет гордости конструкторов и… утилитарная вещь для потребителя.

Но давайте еще ближе к автомобилю. Совсем близко к его сердцу – двигателю. Но двигателю необычному, оригинальному, с уникаль­ной геометрией.

Загадочная кривая

Сколько лет прошло со дня создания роторно-поршневого двигателя (РПД), детища двух великолепных инженеров Феликса Генриха Ванкеля и Вальтера Фройде… А со времени зарождения идеи – еще больше. И все эти долгие десятилетия красивую и строгую линию эпитрохоиду упорно называют «сложной кривой»…

Вот пара примеров. Аркадий Алексеев, статья «Семьдесят лет из жизни “Ванкеля”», «За рулем» № 2/1998. «Однако главную трудность представляет изготовление такого цилиндра: его основанием служит эпитрохоида – сложная геометрическая кривая. Понятно, реализовать это смогли лишь через несколько лет, когда развитие технологии позволило делать поверхности столь сложной формы».

Не оригинален и Максим Сачков, статья «Линия жизни – эпитрохоида», «За рулем» № 7/2001. «В блоке цилиндров – статоре, внутренняя поверхность которого представляет сложную кривую – эпитрохоиду, вращается ротор».

И ни малейшей попытки разобраться и объяснить – что же в ней такого сложного, в эпитрохоиде? А ведь ничего особенного там нет, и мы это сейчас продемонстрируем. Как говорится, следите за руками, здесь даже голову особенно включать не придется.

Вооружимся проверенным методологическим приемом «от простого к сложному». Возьмем пару геометрических объектов – прямую и окружность. Кстати, прямую тоже можно считать окружностью с бесконечным радиусом (R = ∞). И начнем двигать один объект относительно другого.

Циклоида

Берем прямую и катим по ней окружность – причем без скольжения. Иными словами, двигаем «R по ∞». Какую линию прочертит точка на окружности? Конечно, старую добрую циклоиду (рис. 3). Пример в автомобиле – траектория крайней точки на шине. Запомним и вернемся к нашим объектам.

Рис. 3. Окружность катится
по окружности («R по ∞»).
Получается циклоида. Ее
описывает крайняя точка
на протекторе колеса
Рис. 3. Окружность катится по окружности («R по ∞»). Получается циклоида. Ее описывает крайняя точка на протекторе колеса

Эвольвента

Теперь возьмем прямую и начнем «катать» ее по окружности. Точнее – обкатывать этой прямой окружность, и обязательно без скольжения! Теперь мы двигаем «∞ по R». Кривая, которую описывает точка на прямой, называется эвольвентой окружности (рис. 4). Пример в автомобиле, да и вообще в технике – профиль зуба в зубчатом зацеплении.

Рис. 4. Прямая «катится» по окружно-
сти – точнее, обкатывает ее («∞ по R»). Получается эвольвента. В технике это профиль зуба в зубчатой передаче
Рис. 4. Прямая «катится» по окружно- сти – точнее, обкатывает ее («∞ по R»). Получается эвольвента. В технике это профиль зуба в зубчатой передаче

Эпитрохоида

И наконец, самый интересный случай. Возьмем не прямую и окружность, а две окружности. То есть не «R и ∞», а пару «R и r». И начнем обкатывать окружность радиуса r другой окружностью – с радиусом R. Примерно так вращают обруч на талии.

В общем случае точка на подвижной окружности будет описывать эпициклоиду или гипоциклоиду – в зависимости от того, «кто по кому катится». И «где катится» – снаружи или внутри. Но так или иначе, это будет не «радиус по бесконечности» (как в случае циклоиды), и не «бесконечность по радиусу», (как в случае эвольвенты), а «радиус по радиусу»! Запомним и двинемся дальше.

Прикрепим к подвижной окружности стержень – жестко прикрепим. Неподвижно! Скажем так – приварим! Так вот, точка на этом стержне будет описывать кривую, называемую эпитрохоидой.

А теперь посмотрим на рис. 5, где дан роторно-поршневой двигатель в разрезе. Окружность R катится по другой окружности радиуса r. А точка 1, жестко связанная с подвижной окружностью R, описывает эпитрохоиду. И точка 2 описывает эпитрохоиду, и точ­ка 3 тоже ее, родимую. Вот вам и автомобильное применение эпитрохоиды – профиль камеры сгорания двигателя Ванкеля.

Рис. 5. Окружность катится по окружности («R по r»). Точка, жестко связанная с окружно-
стью R, описывает эпитрохоиду. На рисунке это точки 1, 2 и 3. Автомобильный пример –
двигатель Ванкеля
Рис. 5. Окружность катится по окружности («R по r»). Точка, жестко связанная с окружно- стью R, описывает эпитрохоиду. На рисунке это точки 1, 2 и 3. Автомобильный пример – двигатель Ванкеля

На самом деле, все описанные линии – и классическая циклоида, и эпициклоида, и гипоциклоида, и эвольвента, и эпитрохоида – относятся к одному и тому же классу циклоидных кривых. И описываются, в общем-то, схожими уравнениями. Все дело лишь в том, «кто по кому катится»:

  • окружность по прямой;
  • прямая по окружности;
  • или окружность по окружности.

Так что ничего сложного в эпитрохоиде нет. Как и в ее воспроизведении на станке с ЧПУ, по-английски CNC (Computer Numerical Control). Правда, с одной оговоркой. Раньше, когда такие станки оснащались линейно-круговыми интерполяторами, эпитрохоиду заменяли цепочкой дуг окружностей и отрезков прямых. В математике такая замена называется линейно-круговой аппроксимацией.

Точность аппроксимации сказывалась на точности результата. Для приемлемой цифровой модели эпитрохоиды приходилось увеличивать число дуг, а это сказывалось на времени прохождения фрезы по контуру – оно существенно возрастало.

С появлением сплайн-интерполяции и микропроцессорного управления станками получение в цехах «хитроумных» контуров существенно упростилось. Но это уже совсем другая история. Как-нибудь в другой раз.

  • Юрий Буцкий

Адрес редакции

111033 Москва, ул. Самокатная, 2а, стр.1, офис 313

На карте

Контакты

Тел.: (495) 361-1260

E-mail: отправить письмо

Социальные сети

Журнал «АБС-авто» © 2018, все права защищены